@faithlux
Grundsätzlich sollten die Mails dabei nicht gelöscht werden, zur Sicherheit würde ich aber davor folgende zwei Dinge tun:
1. Backup des Mails mit der dafür hervorragend geeigneten Freeware MailsStore Home
2. Rückfrage bei der Webhosting Helpdesk via Tel. 0800 888 500
Ob Swisscom die Möglichkeit zulässt, dass die Domain bei einem andern Provider registriert ist, musst du ebenfalls bei der Webhosting Helpdesk fragen.
Und letztendlich musst du bei Hosttech nachfragen, ob es bei ihnen ein reines Webhosting ohne Mail gibt, denn das Mail mit derselben Domain kann nicht auf bei zwei Providern gehostet sein.
Wie bereits weiter oben erklärt, musst du den Aufwand auf dich nehmen und das direkt mit den beiden Providern selbst abklären.
Letztendlich stellt sich die Frage, weshalb du mit dem Mail an Swisscom festhalten möchtest und nicht alles zu Hosttech zügelst?