Dein Heimanschluss hat wohl eine (öffentlich routbare) dynamische IP-Addresse.
Ein Umweg kann auch sein, einen Tunnel aufzubauen zu einem System, das genau die Anforderungen erfüllt, z.B. (auch unter Windows!) - das löst dann auch die Herausforderung einer öffentlich routbaren IPv4-Adresse, solltest Du einmal von Swisscom eine CGNAT-IPv4-Adresse bekommen.
Beispiel:
ssh -L 9999:the.mysql.server:3306 your_account@some.shell.access.server
Das ist lokales port forwarding mit dem Effekt, dass the.mysql.server denkt, dass die Verbindung vom user "your_account" auf some.shell.access.server kommt - in der Realität kommt das aber von Port 9999 auf Deinem lokalen Rechner.
Dein Access verbindest Du dann also nicht mit the.mysql.server sondern mit localhost:9999
Unter Linux / Unix ist das bei ssh zu finden, unter Windows bei putty.