So richtig wurde aber die initiale Frage nicht beantwortet.
Die IP Adresse lässt sich generell nicht komplett "verbergen". Zumindest die Dienste welche man kontaktiert bekommen die IP Adresse natürlich. Denn die müssen ja auch eine Antwort zurück schicken können.
Das ist wie bei der Briefpost. Wenn du einen anonymen Brief ohne Absender-Adresse verschickst wird der Empfänger nie auf die enthaltenen Fragen antworten können.
Was man aber machen kann ist es die Türen (Ports) an der eigenen Adresse zu schliessen. Das passiert in der Regel durch eine Firewall. Die Swisscom IB lassen standardmässig keinerlei Initialisierung einer Verbindung aus dem Internet zu und lassen einfach gesagt nur Antworten auf gesendete Anfragen rein.
Allerdings antworten die IB auf ICMP Echo Request. Das ist etwa so wie wenn jemand einen Boten zu deiner Adresse schickt und dieser mit der Nachricht zurück kommt "ja, an der Adresse wohnt jemand". Manche bevorzugen so Anfragen zu verwerfen (z.B. der Swisscom 6rd Gateway unter 6rd.swisscom.com antwortet nicht auf ICMP Echo Anfragen). Somit weiss ich anhand der Echo-Anfrage nicht ob an dieser Adresse jemand zu Hause ist. Das hindert mich aber trotzdem nicht weitere Einbrecher loszuschicken um zu gucken ob dort eventuell Fenster oder Türen offen stehen. Wenn aber aller eingehender Traffic verworfen wird dann hat das ggf. auch noch weitere Nebeneffekte.
Merke: Es ist generell nicht gefährlich wenn dein Router sich bei Echo-Anfragen zu erkennen gibt. Wenn der erwähnte Heise Security Check aber offene Ports und Dienste wie 21, 22, 23, 25, 80 oder 443 meldet ist das nur gut wenn man das explizit beabsichtigt und diese Dienste auch entsprechend gegen Angriffe abgesichert sind denn diese erlauben es komplexe Anfragen an ein System zu stellen die ggf. auch über Software-Fehler einen Zugriff auf ein System ermöglichen. Ein einfaches Ping erlaubt keine komplexe Kommunikation.