Als Halter der Domain kannst du diese zu einem beliebigen Anbieter wechseln. Du musst hierfür bei der Swisscom einen so genannten "Transfer-Code" anfordern und diesen dann dem neuen Anbieter mitteilen.
(Dies betrifft nur die Domain an- und für sich. D.h. ohne Webhosting, Mail-Postfächer etc.)
Die E-Mail-Adressen musst du dann beim neuen Anbieter auch neu einrichten (können aber gleich heissen wie die jetzigen). Dies führt dazu, dass ggf. die bestehden Postfächer vorgängig gesichert werden müssen, damit man die alten Mails dann nach dem Anbieterwechsel noch zur Verfügung hat.
Ebenso musst du die Website natürlich auf dem Webhosting des neuen Anbieters einrichten.
Bezügl. der Domains ist es so, dass die meisten "neuen" Anbieter erst ab dem Zeitpunkt abrechnen, ab dem du beim alten Anbietern wieder die neue Jahresrechnung gezahlt hättest.
Beim Hosting zahlst du halt beim alten Anbieter bis Vertragsende (ggf. Kündigungsfrist) und beim neuen Anbieter am dem Moment, wo du das Hosting eröffnest.
Hinweis: Das ist eine etwas "vereinfachte" Kurzversion der Geschichte. Wenn man keine Ahnung davon hat, wie Domains, DNS, Nameserver, Webhosting etc. zusammenhängen, dann ist der Umzug einer Website inkl. Umzug von Mailadressen unter Umständen eher nicht etwas, was man selber (d.h. ohne professionelle Hilfe) machen möchte. Zumindest dann nicht, wenn man auf einen kurzen und reibungslosen Wechsel ohne Datenverlust & Unterbrüche angewiesen ist 😉