Häufig ist dieses Verhalten darauf zurückzuführen, dass du auf irgendeinem Email-Client mittels POP auf das Postfach zugreifst. Das kann eine Software wie Thunderbird oder Outlook auf dem Desktop, oder das Mailprogramm eines Smartphones sein. Je nach Einstellung werden die Mails dann alle auf das lokale Gerät heruntergeladen und vom Server gelöscht. Um diese Vermutung zu bestätigen kannst du dir selbst ein Mail schicken und im Webmail beobachten, ob dieses eine kurze Zeit lang im Posteingang sichtbar bleibt und dann verschwindet.
Wenn es so ist, dann sind die Mails alle noch auf dem auslösenden Mailclient vorhanden. Du solltest dann mit grösster Vorsicht vorgehen, um sie von dort dann wieder auf irgendeine Weise ins Postfach hochzuladen (z.B. per IMAP). Aber schau zunächst mal, dass du den "Schuldigen" findest.