Habt ihr nach dem Update mal alle Apps im Multitask geschlossen und das Handy mal aus und wieder eingeschaltet?
Ich kann keine der Beschriebenen Fehler nachproduzieren. Weder auf dem iPhone 5 mit iOS7 noch mit meinem 5S mit iOS 7.0.1! Auch mit dem 4S vom Kollegen, welches ich schnell getestet habe, hat keine Probleme!
Ansonsten würde ich mal empfehlen das iPhone neu aufzusetzen und dann nochmals das Backup einspielen!