Genau diese Frage hatte ich auch, und ich habe folgende Schritte ausprobiert.
Meine Situation: Windows 10 / Firefox / Bluewin Webmail 8.29.3
1. Webmail oben rechts Einstellungen
2. Alle Einstellungen...
3. Benachrichtigungen
4. Desktop-Benachrichtigungen anzeigen
Bild 1 - Webmail
5. Unter Windows / Einstellungen / System / Benachrichtigungen & Aktionen kann man auswählen, ob man Infotext oder Sound oder beides haben möchte:
Bild 2 - Windows
Und so sieht es dann aus:
Bild 3 - Ergebnis