@HP
Vielen Dank - wieder etwas gelernt. Mit dem Handy hat das Outlook (zum Glück) die ganze Zeit funktioniert.
Öffne ich das Outlook über Microsoft 365, d.h. ich melde mich dort an, gehe dann zu "Mein Microsoft-Konto" und öffne dann über die Kacheln links oben das Outlook, dann komme ich zum neuen Outlook, das mit dem neuen Outlook-Mail angemeldet ist.
Öffne ich das Outlook über office.com, dann muss ich mich zuerst anmelden und es schlägt mit immer bluewin vor. Ich kann aber meine outlook-Adresse eingeben und dann öffnet es auch das neue Outlook.
Als ich über den Start ins angeheftete Microsoft 365 (Office) bin und dann Outlook geöffnet habe, dann wurde die Version, die ich benutze (also die umfangreichere) mit der richtigen Mail-Adresse in der Anmeldung geöffnet. - Und seither ist dies auch so, wenn ich das Outlook über das Icon in der Taskleiste öffne - auch nach einem Neustart.
Jetzt ist also fast alles wie es sein sollte, ausser dass mir office.com immer zuerst die bluewin-Mailadresse vorschlägt, um mich anzumelden - irgendwo scheint dies dort noch gespeichert zu sein - und ich noch diese zwei Bluewin-Konten habe.
Ich sichere als Backup die pst-Datei des Bluewin-Mails. Genügt dies nicht? - Wenn ich sicher bin, dass dies genügt, dann werde ich auch noch den Versuch starten die Bluewin-Kontos - oder vielleicht zuerst mal das zweite - zu löschen.