@Gaplempim88
Wenn du statt dem Webmail (d.h. Zugang zum Mail via Browser) einen Mailclient wie z.B. Outlook oder Thunderbird (Freeware) installierst und als Mailprotokoll IMAP verwendest, so sind deine Mails auf dem Laptop synchron mit dem Mailserver und auch Offline verwendbar. Outlook oder Thunderbird sind zudem sehr viel komfortabler in der Bedienung und haben mehr Features als das Webmail.
Wenn es nur darum geht die Mails auf dem Laptop zu speichern, so empfehle ich die hervorragende Freeware MailStore Home. Damit hast du ein Backup aller Mails auf dem Laptop (was man ohnehin regelmässig machen sollte) und hervorragende Suchfunktionen und Filter, um nach bestimmten Mails oder Inhalten zu suchen.