@greg47
Versuche mal an Stelle der Bildschirmsynchronisation das Airplay-Symbol bei laufender Sendung innerhalb der App TV Air zu benutzen.
Das funktioniert bei mir auch während der Bildschirmsperre.
Edit: Es soll auch User geben, die das Problem je nach Gerät und iOS-Release umgekehrt hatten, also bei denen eine Besserung auftrat, wenn sie Airplay nicht innerhalb der App, sondern über das Kontrollzentrum starteten.
Am besten also einfach beide Varianten ausprobieren.